Discipline details

Course details

Recommended Prior Knowledge

Conhecimentos adquiridos nas unidades curriculares (UC) Matemática I e Matemática II das actuais licenciaturas (note-se que Elementos de Matemática I e Elementos de Matemática II dos CTeSP são, em conjunto, equivalentes a Matemática I) ou nas UC Análise Matemática I, Análise Matemática II e Álgebra Linear e Geometria Analítica de anteriores planos curriculares de licenciatura.
Objectives

Os objectivos da unidade curricular Matemática Aplicada consistem na aprendizagem de áreas chave da matemática, fundamentais para a compreensão, modelação, previsão, identificação e resolução de problemas da engenharia em geral, fornecendo instrumentos poderosos para uma abordagem menos elementar das unidades curriculares clássicas existentes nos curricula de engenharia.

Em cada tópico, os estudantes deverão adquirir as seguintes competências:

1. Integrais Múltiplos

Identificar e representar geometricamente a região de integração. Reconhecer a ordem de integração mais eficaz.
Efectuar, quando necessário, a mudança de variáveis mais adequada para cada integral múltiplo.
Calcular áreas, volumes, massas, centros de massa e momentos de inércia, utilizando integrais múltiplos.

2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Reconhecer e resolver os seguintes cinco tipos de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem: EDO de variáveis separáveis; EDO homogénea; EDO linear; EDO de Bernoulli; EDO total exacta.
Identificar o polinómio característico de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes e determinar e classificar as raízes desse polinómio.
Determinar a solução geral de uma EDO linear homogénea de ordem n com coeficientes constantes.
Determinar a solução geral de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes, não homogénea, em certos casos específicos.

3. Transformadas de Laplace

Calcular a transformada de Laplace de uma função recorrendo à definição.
Determinar, recorrendo às propriedades, transformadas de Laplace directas e inversas.
Aplicar as transformadas de Laplace na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

4. Séries

4.1. Séries Numéricas

Identificar as séries geométricas, aritméticas e telescópicas, estudar a sua natureza e calcular a soma quando convergentes.
Identificar uma série de termos não negativos e aplicar o mais indicado dos seguintes critérios para determinar a sua natureza: Critério do Integral; 1º e 2º Critérios de Comparação; Critério da Razão; Critério da Raiz.
Identificar uma série alternada e estudar a sua natureza (convergência simples/absoluta ou divergência).

4.2. Séries de Potências

Determinar o intervalo de convergência de uma série de potências.
Representar funções em série de potências de (x-a), se necessário recorrendo ao Teorema da Derivação e Primitivação de séries de potências.

5. Séries de Fourier

Determinar os coeficientes de Fourier e a série de Fourier de uma função periódica.
Interpretar geometricamente funções periódicas, funções periódicas pares/ímpares e efectuar extensões periódicas pares/ímpares.
Teaching Methods

A UC Matemática Aplicada tem uma carga lectiva de 4h/semana de aulas teórico-práticas, nas quais serão apresentados os conceitos fundamentais dos diferentes assuntos do programa da UC, demonstrados alguns resultados e resolvidos exercícios que ilustram os tópicos abordados.

Nas aulas, pretende-se que os estudantes adquiram uma visão global dos temas e das suas interligações, acompanhada de uma formulação correcta e objectiva das definições matemáticas, o enunciado preciso das proposições e a prática do raciocínio dedutivo, assim como conheçam algumas aplicações às engenharias das várias noções apresentadas.

A consolidação dos conhecimentos por parte dos estudantes basear-se-á numa nova leitura dos materiais disponibilizados e na realização autónoma de exercícios, recorrendo ao material de estudo recomendado na bibliografia da UC e ao apoio dos docentes da UC nos respectivos horários de atendimento.

Os materiais de apoio, assim como toda a informação, serão disponibilizados na página da UC no Moodle.
Internship(s)

Não
Syllabus

1. Integrais Múltiplos

Integrais duplos e triplos: definição, propriedades e aplicações. Mudança de variável em integrais duplos e triplos.

2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Equações diferenciais ordinárias: definições e exemplos. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: técnicas de resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis, homogéneas, lineares, de Bernoulli e totais exatas. Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n com coeficientes constantes: propriedades e técnica de resolução.

3. Transformadas de Laplace

Transformada de Laplace e Transformada de Laplace inversa: definições e propriedades. Aplicação à resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

4. Séries

4.1. Séries Numéricas

Série convergente, propriedades e critérios de convergência. Convergência absoluta.

4.2. Séries de Potências

Domínio de convergência; derivação e integração de séries de potências. Série de Taylor. Representação de funções em série de potências.

5. Séries de Fourier

Definição e desenvolvimento de uma função em série de Fourier: cálculo dos coeficientes; séries de Fourier de funções usuais; propriedades das séries de Fourier.
Content Explanation

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Methodology Explanation

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Responsible Lecturer(s)

Ana Isabel Celestino de Matos - 1.º Semester
Bibliography

E. Kreyszig; Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, 2011 (Advised for students who do not read Portuguese)
Apontamentos e exercícios elaborados por docentes do DMAT; disponíveis na página Moodle da UC
Azenha & M. A. Jerónimo; Elementos de cálculo diferencial e integral em IR e IRn, McGraw Hill, 2006
James Stewart; Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999. ISBN: 0-534-35949-3 (Advised for students who do not read Portuguese)
H. Anton; Calculus: A New Horizon, Vol. 1, 6th edition, John Wiley & Sons, 1999 (Advised for students who do not read Portuguese)
Gabriel E. Pires; Cálculo diferencial e integral em IR^n, 2ª edição, IST press, 2014
M. A. Ferreira; Integrais Múltiplos Equações Diferenciais - Exercícios, 1ª edição, Edições Sílabo, 1995
M. O. Baptista, M. A. Silva; Equações Diferenciais e Séries - Exercícios, 1ª edição, Edições Sílabo, 1994
B. Demidovich; Problemas e Exercícios de Análise Matemática, McGraw-Hill, 1993
N. Piskounov; Cálculo diferencial e integral, Vol. I e Vol. 2, Edições Lopes da Silva, 1977
T. M. Apostol; Cálculo Vol. I e Vol. II, Reverté, 1993
J. Campos Ferreira; Introdução à Análise Matemática, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1991
G. B. Thomas, M. D. Weir, J Hass; Cálculo, Vol. II, 11ª edição, Pearson Education, 2009
João P. Santos; Cálculo numa variável real, IST press, 2016
Pedro M. Girão; Introdução à análise complexa, séries de Fourier e equações diferenciais, IST press, 2014
Gabriel E. Pires; Cálculo diferencial e integral em IR^n, 2ª edição, IST press, 2014
Vasco Simões; Análise Matemática 2, Edições Orion, 2011